ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра моделирования на математических моделей имитации Заведующий кафедрой г. Чебоксары В настоящее время популярностью методы математического в социологии, биологии, медицине, химии и многих других областях человеческой деятельности.

Особый интерес вызывают в современных вопросы прогнозирования возникают между особями одной но еще актуальны конфликты между особенно, когда их несколько. Нетрудно обобщить эту и на военные между противостоящими друг другу боевыми соединениями человечества. В данной работе рассматриваются математические имитации основанные на системах уравнений. Нас качественное развитие выживание, вымирание, равновесие, В общем прогнозирование динамики популяций. Поэтому основной упор делается на численном решении и графической интерпретации. Однако большинства примеров приведены решения. Настоящая работа является попыткой создания справочника по простейшим моделям имитаций тов, хотя и не претендует на это. дипломник глубокую своим научным профессору Артемьеву и старшему Филиппову за ему возможность войти в интересный курс моделирования С уважением Артемьев Э.

Модель Мальтуса. Изменение общего живых особей в с рождаемостью и смертностью один из важнейших вопросов популяции. Если считать популяцию изолированной, ресурсы питания неограниченными, а прирост поголовья пропорциональным особей, то динамика численности популяции описывается дифференциальным уравнением где численность популяции в момент времени коэффициент прироста популяции. Решением этого уравнения является функция численность популяции в начальный момент времени.

Из следует, что численность поголовья растет неограниченно. Разумеется ни в одной реально существующей популяции такой рост не наблюдается. Уравнение имеет смысл в теоретическом аспекте, либо описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой популяции. Величина при этом называется специфической скоростью естественного увеличения популяции. Уравнение впервые в году Мальтус. Его заблуждение заключается в том, что уравнение справедливое для узкого класса популяций, он считал универсальным законом не только всей природы, но и для Действительно, имеет вид функция стремится к бесконечности при то и число особей данного вида будет стремиться к бесконечности. Например, подсчитать, что потомство одной пары мух за два года при размножении имело бы массу, превосходящую массу Земли.

В действительности быстрый рост не хотя известны случаи, когда некоторые виды животных и растений, попав в благоприятные условия, размножались настолько быстро, что становились бедствием в Австралии, водяной гиацинт в реках США и Основным фактором, характеризующим данную считать скорости роста численности популяции самому числу чем больше особей, тем больше они принесут и чем больше особей, тем большее их умрет за единицу времени. В общем следует рассматривать число особей х, в популяции рождающихся за единицу времени, и особей умирающих за единицу времени. Тогда с достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения численности со временем задается Задача теперь состоит в том, чтобы описать зависимость и

Простейшей является рассмотренная выше когда где а и Ь коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. Дифференциальное уравнение переписывается в виде или в виде где Естественно при имеем эффект показательного роста Если же т. е. то численность экспоненциально стремится к при популяция становится вымирающей. Обобщая уравнение заметим, что практически все которые описывают реальные явления и процессы, нелинейны, и вместо дифференциального уравнения следует рассматривать уравнения где параграфе нелинейная функция, например, как в следующем Артемьев Исследование моделей имитации конфликтов. Чебоксары, ресурсы а смертное описывается где в времени а Ь в времени. этого уравнения где Хо в численность особей тет, а. при а убывает до в рост такое уравнение в году. в том, что он сч данный закон природы Здесь на основе рождаемое то неограниченно увеличивается.

Более точное описание развития популяции дает уравнение полученное в году. Оно учитывает так называемый или попросту внутривидовую борьбу в популяции. Внутривидовая борьба объясняется многими конкурентной борьбой за место и пищу, распространением инфекции тесноты и Желая учесть этот эффект, мы должны при подсчете прироста от вычесть некоторую величину Функция для многих популяций может быть взята в виде б Наличие множителя обосновывается следующим образом. Величина отражает снижение скорости роста популяции внутривидовой конкуренции. Итак на и переходя к пределу при Это уравнение б коэффициент самоотравления коэффициент внутривидовой конкуренции. Вынесем за скобки и б получим Обозначив значение то всех моментов времени непрерывная функция. и Из при следует, что производная растет. переменные в уравнении

Считая проинтегрируем С, Пусть при хо Подставив это значение С в Подставив в найдем Откуда решение в виде то производная всюду Дифференцируя Подставив сюда выражение из о При вогнута. При выпукла. Находим область выпуклости, область вогнутости. точка перегиба. Если в момент времени популяция то развитие идет по кривой до точки М. Меняя кривизну в этой точке, кривая стремится к прямой нигде не достигая этой прямой Величина называется максимальной возможной при данных условиях. На основе модели можно рассмотреть более общие задачи, в случае приток извне особей в единицу времени, за счет искусственной подсадки или за счет М особей покидающих данную популяцию, за счет отлова или за счет Можно постоянную величину, но можно и величину пропорциональную численности Можно охотиться посезонно, тогда следует принять В целом легко заметить, что скорость размножения популяции в при увеличивается с увеличением коэффициента рождаемости сх. и уменьшается с увеличением коэффициента самоотравления б.

Заметим, что решение можно переписать в виде Отсюда легко заметить, что при в популяции При этом возможны и между этими случаями в том, в первом случае при численность популяции возрастает, но не беспредельно, а до значения и превосходящего Во втором случае численность убывает, но не до а до значения которое меньше первоначального В обоих стремится. к предельному значению асимптотически. Программа численного решения приведена ниже. приведены графические иллюстрации численного решения, интерпретирующие развитие популяции по модели Эдуард Исследование моделей имитации Чебоксары, в особей в в ь а рождаемое особей т точное з того точного и приводит росту вырождению с тие фруктовых вреди и некоторых видов бактерий. Эдуард Исследование моделей имитации Чебоксары,

Модель Полетаева. деревья имеют В данном параграфе рассмотрим описывающую динамику и роста деревьев. Обратим внимание на тот факт, что в этой уравнение роста деревьев имеет вид а е. практически совпадает с уравнением Исходя из опыта предыдущих можно сказать, что при мы бы модель неограниченного роста дерева с начальным размером при а коэффициент где а коэффициент затрат энергии дерева на рост. Но коэффициент очевидно учитывает борьбу за существование достаточно энергии и В этом задача подобна задач ров самоотравлении и мы можем вывод об ограниченности размер деревьев.

Рассматриваемая модель основывается на Это растение в процессе роста сохраняет подобие. Уравнение значит, что растения с ростом не меняется отношение геометрических размеров, отношение высоты к диаметру. путем растение энергию Свободную фотосинтеза. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на построение живой ткани. И на подъем раствора из почвы. ает В среднем за отрезки времени растение может постоянное света на единицу поверхности и поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса. р Составим уравнение энергии.

Пусть размер растения. Площадь поверхности прямо Объем растения прямо Уравнение энергии с. энергия образуемая благодаря фотосинтезу в зеленой части растения энергия затрачиваемая на нужды самого процесса фотосинтеза. энергия затрачиваемая на транспортировку питательного раствора во все части растения расход энергии на увеличение массы растения этот расход прямо пропорционален изменения После деления на из получим а скорости роста где а т. к. ь дерево растет то Следовательно Проинтегрируем Формула дает кривую роста дерева. Если известны а и Ь то по этой формуле можно подсчитать рост дерева данной породы в зависимости от возраста. Дифференцируя то Как видим скорость роста дерева с течением времени уменьшается. Равенство при котором соответствует когда вся поступающая энергия идет на обеспечение нужд процесса фотосинтеза и на транспортировку раствора. Дерево при этом не растет. Артемьев

Исследование моделей имитации конфликтов. Чебоксары, Почему деревья имеют высоту высота дерева высота а Ь коэффициенты уравнения роста деревьев описывается уравнением л Здесь в от ие от та первое в правом части константан, что скорость роста даже высоте дерева. Высота дерева стремится к при которой затраты на фотосинтез и работу равны за счет фотосинтеза. На массы энергии не остается. высоты приравняем скорость роста и уравнение значение

Модель Полетаева Почему деревья имеют ограниченную высоту высота дерева Программа построения системы координат Правая часть уравнения Полетаева а Ь л а Ь Время конечное и времени Начальные условия вывода начальных данных Метод четвертого решения дифференциального уравнения изменения времени то высоты дерева новая высота дерева точка графика высоты дерева хО

Вывод комментариев З, и начальных данных деревья имеют ограниченную высота начальная коэффициенты ЗООО построения системы координат экран пикселей в единице Начало координат в пикселях на экране хО хО оси и осей ТО вывода комментариев Модель Полетаева роста уравнением хО в отличие от надели первое слагаемое в правой и уравнения является что ненулевую скорость роста при нулевой высоте Высота дерева асимптотически тся к предельной, при затраты на Фотосинтез и равны энергии, полученной счет фотосинтеза. На энергии не Для определения предельной высоты нулю скорость роста и уравнение Получим уравнения в экологии. Часто популяция при своем развитии испытывает влияние предшествующих состояний популяции, имевших место в течении некоторого периода времени от до В таком случае скорость развития зависит не от но и от характеризующего предшествующих состояний от до решение таких задач намного труднее обыкновенных уравнений.

Здесь нас интересует сам процесс влияния предков на потомство, поэтому рассмотрим упрощение, заключающееся в том, что ядро считается и Например, можно рассмотреть описывающее динамику Здесь описывает уменьшение скорости размножения загрязнения среды. Модель Вольтерра. учитывает загрязнение среды, произведенное всеми предыдущими за время от до а а Здесь интеграл, учитывающий влияние на среду всех предыдущих поколений за всю историю развития популяции. а коэффициент влияния на скорость размножения загрязнений. Произведение определяет вероятность встречи особей популяции с фактором загрязнения Поскольку неизвестная функция, то от интегрального уравнения перейдем к дифференциальному путем Тогда имеем а Решение этого уравнения производим численно по следующей итерационной Начало цикла Ввод значения Конец цикла. Это метод Эйлера. Он достаточен для качественного описания характера развития популяции. Из графиков мы видим, что в Вольтерра с учетом загрязнения вымирает асимптотически. считать, что популяция стремится облагородить среду. При этом знак перед а меняется и популяция развивается с неограниченным ростом численности. Заметим, что учитывать интегралов, различные загрязняющие и отравляющие факторы. учитывающийся Исследование моделей имитации Чебоксары, Модель Вольтерра с учетом в в времени прироста л Здесь среды за время ОТ ДО чем выше в тем тем рае аЗ Исследование моделей имитации а с учетом л Здесь от до рассма момента Здесь мы видим Через момент Это можно ть как тот факт, что среды в не не потому, что некому создавать практически Мы говорим ь с тся к то то к Эдуард Исследование математических моделей имитации Чебоксары, с учетом уравнение т

Здесь может характеризовать среды в те Эффект к сохраненшо даже к неограниченному ее рос ту тех особей, которые Качественная картина не меняется без Очевидно, созида дея ти предков соо ветс аЗ, а аЗ Вольтерра с интегральным отравлением и стр. хо хо аз экран сколько пикселей в единице Начало координат в пикселях на экране коэффициентов уравнения самоотравление значение при не конечное и времени значение интеграла отравления Коэффициент отравления среда предками часть диффуравнения функция пользователя, прирост, самоотравление и отравление предками л аз ТО хО ТО хО координатных осей осей штрихами осей

ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА РЕШЕНИЯ диФФУРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ТО З ЦИКЛ изменения параметра аЗ условия ТО ЦИКЛ изменения времени количества особей Количество особей в данный момент Количество загрязнений, оставленных предками хО точка графика численности особей Модель Вольтерра с учетом экологии. число в популяции в момент времени скорость изменения численности популяции коэффициент прироста численности популяции коэффициент самоотравления Дифференциальное уравнение развития популяции интеграл характеризует интегральное отравление всеми поколениями особей за время до отравления к вымиранию популяции чек скорость особей в начал период, тек отравителей и тек скорее выки аЗ коэффициент экологии Здесь рассматривается модель Вольтерра, учитывающая На развитие популяций отравления среды всеми поколениями, до рассматриваемого Это влияние учитывается интегралом от нуля до Интегрируется произведение численности на Коэффициент ядро с запаздыванием. Но в данном случае этот коэффициент берется постоянным, равным Интеграл обозначен буквой целом эффект отравления предками определяется слагаемыми

При любом исходе популяция вымирает Причем, чек интенсивней популяция развивается в начальный период, теи круче ее численности после некоторого считать коэффициент аЗ Это будет случаю когда предки заботясь потомках улучшают среду В последнем случае при любой начальной ситуации популяция Не И более того развивается Собственно произведение соответствует вероятности встреч численностью с Факторами отравления икеющики объект который оставлен поколениями. Аналогично произведение соответствует вероятности встреч особей численностью друг с Что приводит к

Если рассматривается несколько сосуществующих видов, например, больших и малых рыб, где малые рыбы являются кормом для больших, то, составляя дифференциальные уравнения для каждого вида, получим систему дифференциальных уравнений Рассмотрим более подробно двухвидовую модель которая впервые была построена Вольтерра для объяснения колебаний рыбных уловов в Адриатическом море, имеющих один и тот же период, но отличающихся по фазе. Пусть число больших которые питаются малыми число которых обозначим через у. Модель построенная Вольтерра, имеет вид Здесь а, б некоторые положительные числа. что скорость изменения численности а изменения численности Слагаемое выражает уменьшение числа малых рыб в зависимости от численности больших. А слагаемое выражает зависимость прироста больших рыб от численности малых рыб. При некоторых значениях параметров а, скорости могут оказаться равными при является что точка М Это изучаемой системы она находится в равновесии, и ни число жертв, ни число хищников не меняется с течением времени. Итак, задача свелась к решению системы двух дифференциальных уравнений Найдем зависимость между и у. первое уравнение на второе Тогда можно переменные Интегрируя, с точностью ДО константы с. Отсюда Это равенство связывает число жертв и число хищников х.

Значение С определяется значениями ха и На фазовой плоскости замкнутые траектории, определяет уравнение х, характеризующее периодические изменения жертв и хищников. не В этого параграфа, подчеркнем, что система является точным отражением действительности на самом надо учитывать наличие многих видов, их различие взаимодействия, общие условия, ограничивающие рост численности некоторого вида, и многие другие факторы. Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации Чебоксары, Эйлера с шагом популяция жертвы а Задач а и жертвах тся двухвидовая тва модель тия которая связана с Модель, построенная вид ыаге выраженную к Это связано с счета чении Очевидно, уточнения зависимости следует уменьшать другой метод Вольтерра эту рыбных уловов в один тот же период, но по фазе. выражает рыб от а жертв в от численности Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, с жертвы е. При ыага туда на рассма промежутке ху построена фазовая траек вна убывает а возрастает За тнгае и убывать, а возрастать н достигает мак За тем обе не достигнет Процесс с погрешность метода. при хАртемьев Эдуард Иосифович.

Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, Фазовые тва значениях жер ТВ видеть, что фазовая кривая вырождается в точку центр семейства кривых. знач от цо с шагом Замкнутость фазовых кривых подтверждает вития жертв и Центр фазовых соответствует при котором жертв и не ь Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, метод с А Задач а жертвах жертва развития ко то рая связана с Модель, построенная имеет вид ыаге выраженную к амплитуды. Исследование моделей имитации конфликтов. Чебоксары, метод порядка жертвы Метод с Задача решена с который методом к Здесь достижимые методом ыага в раз сравнении совпадают двух хищниках и Модель развития трех разных сосуществующих двух популяций хищников с численностями и и одной популяции жертв с численностью Здесь учитывается эффект самоотравления жертвы. Ниже приведены расчеты и без учета самоотравления. Численная реализация итерационного процесса не сильно отличается от схемы для двух видов.

Но выводы что один из видов хищников вымирает в конкурентной борьбе за источник питания, жертву. ликтов. Че оксары, Артемьев Эдуард ович. Исследование математических модели имитации кон метод порядка жертва Х, хо Здесь рассма две А В и соответственно. Они конкурируют в борьбе за один тот же которым третья популяция С жертва Один ь э окажется то вымрут уравнения трех Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации Чебоксары, метод порядка аЗ У, Х, хо роста коэффициент, жертвы первым жертвы вторым Ы коэфф. роста В ы в коэфф. коэфф. задержки роста С при отсутствии коэфф. С Эдуард Исследование моделей имитации Чебоксары, метод порядка А А А теа аЗ роста жертвы первым В жертвы вторым Ы Ы коэфф. коэфф. коэфф. коэфф. прироста та роста В роста С В С Здесь коэффициенты соответствуют задаче двух жертве. жертвы исключено. Видно, что популяция вымирает в конкуренции. имитации Чебоксары, и еле мод их еск тич ема мат ние ова лед Исс вич ифо Иос ард Артемьев Эду А метод порядка А Х, аЗ а роста жертвы первым жертвы в С Ы Ы коэфф. коэфф. коэфф. коэфф. роста В роста С В С Здесь соответствуют задаче об одном жертве третьего самоо жертвы ено Чебоксары, Артемьев Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитация В задаче двух жертве исключаем параметр с траек тия популяций в пространстве А начальная точка, В хонеч ная Траек АВ характеризует зависимость при развитии. Хорошо что точка В на плоскость ХОУ, т. е. в результате конкурентной борьбы с У, хотя в момент по В А аЭ хо уо Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, э. хо л уо Артемьев Эдуард Исследование

моделей имитации Две одинаковы по своим параметрам по отношению к жертве. Жертва также одинаково на каждого только в начальных самоотравления жертвы исключено. Процесс развития с цикпич ен ем овап цикпа вертикапен и находится в одной ти с осью и нач ТОЧКОЙ

Артемьев Эдуард Исследование моделей имитации Чебоксары, Стоит незначительно изменить борьба драма тич характер. раз убеждаемся в ти уничтожения одного из них даже при незна в тельном различ некоторых параметров одного ввда от параметров другого. в Пора делать вывод том, то для стороне нужно при других планов, фиксировать и принимать параметры что здесь спираль и полюсом стремится к плоскости ХОУ образуя коническую

Артемьев Эдуард Исследование математических моделей имитации кон конфликтов. Чебоксары, еской теперь находится на параметров Ь и с привело к конуса, а параметр на темп уменьшения амплитуды. в относи Следует том, что решения со ответе сие тем в определенных экспонентами с отрицательными коэффициентами при тное прак еская категория, но не теоретическая. Цпя дос наблюдаемого здесь, затратить прич ем на всего пути от А цо В. в хо уо Простейшие модели борьбы. Модель Ланчестера рода. Начнем изучение процесса вооруженной борьбы с описания простейших ситуаций. классическим примером которых следующая ситуация. Две группировки противника А и В, состоящие каждая из одинаковых боевых единиц, находятся в процессе взаимодействия друг с другом, протекающем следующим образом. Каждая боевая единица противника А ведет поиск некоторой единицы противника В и, как находит ее, совершает по ней один акт

Точно так же ведет себя и каждая боевая единица противника В. Что такое элементарный акт огневого воздействия, зависит от того, что представляют собой боевые единицы и какими средствами они В простейшей интерпретации боевые единицы это солдаты со стрелковым оружием. а элементарный акт воздействия один или очередь из автоматического Не исключена. однако, такая интерпретация этих понятий, когда боевые единицы являются целыми подразделениями, а элементарные акты воздействия огневые с помощью различных систем вооружений. имеющихся Далее для краткости элементарный акт воздействия будем называть В элементарного акта воздействия боевая единица, по которой он совершался. либо остается совершенно неповрежденной и принимает участие в дальнейшем процессе наряду со всеми остальными, либо выходит из строя и не оказывает на дальнейшее течение процесса никакого действия.

Это означает. что она сама не совершает никаких актов воздействия по боевым единицам противника в течение всего дальнейшего процесса, а также факт ее выхода из строя становится известным всем единицам противника и по ней в дальнейшем не совершается никаких воздействий. Временем. которое проходит от момента выстрела до момента выхода из строя боевой единицы, если таковое имеет место в результате этого выстрела, будем пренебрегать. Будем считать, что каждой боевой единицы противника А при каждом выстреле вероятность вывести из строя единицу противника В одна и та же и равна

Будем считать таюке. что количество совершаемых одной боевой единицей противника А в единицу времени, т. е. скорострельность, одно и то же в течении всего процесса. Обозначим его через а. Обратим внимание на то, что величины а. и а. могут не совпадать, вообще говоря, с теми которые являются техническими характеристиками имеющегося боевых единиц оружия, и их постоянство является довольно существенным относительно характера информационного процесса, сопутствующего изучаемому процессу взаимного уничтожения, поскольку для проведения прицельного выстрела по единице противника ее необходимо обнаружить.

Пусть в момент противников было и боевых единиц соответственно. Нас будет интересовать дальнейшее течение процесса, т. е. изменение численности боевых единиц противников с течением времени. Конечно, маловероятно, чтобы в вооруженном конфликте, которые имели место в прошлом, либо происходят сейчас, тот самый процесс, который мы собираемся много сделано предположений. Например, даже боевые единицы вооружены одним и тем же оружием, практически они никогда не бывают полностью вероятность поражения при одном и том же выстреле различных боевых единиц различна. те боевые единицы, по которым в данный момент ведется огонь, в большинстве случаев знают это, и таких единиц вероятность поражения противника при собственных выстрелах может существенно уменьшиться.

В реальных условиях редко в течении всего процесса выполняются предположения, сделанные относительно информированности противников друг боевые единицы могут укрываться в складках местности, поле боя может быть задымлено, так что боевые единицы могут появляться и исчезать из зрения, и т. д. То, что мы собираемся изучать, лишь некоторая схема реального процесса, в чертах на него похожая. Обозначим численности боевых единиц противников в момент времени через и Потери противника В, т. е. число выведенных из строя противником А боевых единиц, на некотором временном промежутке длины временной промежуток далее для краткости обозначается через равны, в соответствии с введенными обозначениями, Эти потери, с другой стороны, можно оценить следующим образом.

Одна боевая единица противника А на промежутке П делает а. что промежуток П столь что можно что количество сделанных противником А на промежутке в точности равно В этом случае математическое ожидание количества выведенных из строя единиц противника В равно если сделанные выше предположения относительно промежутка П справедливы, то будет иметь место приближенное равенство Запишем эти соотношения в более удобном

Слева в них фигурируют естественным образом, как скорости изменения численности противников. Это дает основание постулировать следующую математическую описывающую интересующие нас изменения взаимодействующих Еще раз подчеркнем что модель является некоторым а которые дали основания ее не являются а представляют собой лишь некоторые соображения. Хотя мы не обозначения для численностей противников в модели величины и фигурирующие в соотношениях и и фигурирующие в это разные В соотношениях и эти в соответствии со здравым являются числами. точнее, функциями в соотношениях величины и являются дифференцируемыми функциями времени. обязательно принимающими как так и дробные значения.

Таким образом, в соотношениях величины и это не численности. а некоторые абстрактные характеристики. Их пришлось ввести для строгих, однозначно трактуемых соотношений из которых уже чисто математическими средствами можно следствия. В частности. соотношения позволяют дать прогноз развития изучаемого процесса, они однозначно определяют функции и характеризующее численности, если заданы начальные условия

Иначе замкнута. если считать в ней внутренними функции и а внешними начальные условия и и величины Р р Этот факт имеет строгое математическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных условиях существует и единственно. Модель получила название рода. Мы начнем ее изучение с некоторых преобразований. Обозначим Примечание. Здесь характеризует интенсивность процесса уменьшения численностей противников, называется приведенным временем. Штрих при приведенном времени будет далее опускаться. Перейдем в к введенным формулами Величины и называются коэффициентами эффективности, и приведенными что форма модели более удобна для анализа. Система является линейной однородной системой обыкновенных дифференциальных решение можно выписать в замкнутой аналитической форме. это позже.

Сейчас же рассмотрим один из первых интегралов системы функцию фигурирующих в при подстановке в которую любого решения системы она обращается в постоянную. Нас будет интересовать не зависящий от времени. Такой системы с точностью до функционального комбинирования существует один. его получения умножим на и вычтем их друг из друга. Получим соотношение П П о. Его интегрирование дает Таким разность квадратов приведенных численностей противников не меняется в течение всего изучаемого нами процесса и равна поэтому такой разности в начале процесса.

Соотношение называется законом квадратов. Оно содержит важную информацию характере изучаемого для чтобы как протекает как именно он изменяет характеризующее его необходимо в первую очередь именно этот процесс не меняет, какие именно величины сохраняются при его другими словами, необходимо выявить его инварианты. Из сразу же что победу во взаимодействии одержит тот из которого в начале большая приведенная Если, как следует из в течение всего процесса будет В этом случае в тот момент когда второго противника численность обратится в он полностью уничтожен, первого противника останется боевых единиц. Вспомнив соотношения определяющие приведенные численности, мы получаем представление об относительной важности технической вооруженности боевых единиц и их численности, поскольку величины являются математическими ожиданиями количества выведенных из строя единиц одного из противников одной единицей другого противника в единицу времени и могут трактоваться поэтому как характеристики технической вооруженности противников. Еще одно важное, с содержательной точки зрения, следствие закона квадратов выявляется из рассмотрения следующей ситуации. Пусть обоих противников имеется одно и то же начальное приведенных сил однако процесс взаимодействия походит в два этапа. На первом этапе противник А вступает всеми своими силами во взаимодействие лишь с половиной сил противника В. В этом взаимодействии победу одержит противник А, него после окончания взаимодействия останется, в соответствии приведенных сил. На втором этапе этими силами противник А вступает во взаимодействие со второй половиной сил противника В.

Поскольку то опять победу одержит первый противник, причем него второго взаимодействия останется, в соответствии с приведенных сил. Первый противник в описанном взаимодействии полностью уничтожил второго, истратив на это лишь около своих сил. Рассмотренный пример демонстрирует хорошо известный со времен древности принцип, состоящий в том, что необходимо бить В дальнейшем для краткости этот принцип будет именоваться принципом БПЧ. Естественно, чем на большее количество частей удастся разбить противника и очереди всеми своими силами вступить во взаимодействие с этими частями, тем больший эффект будет достигаться. В описанной выше ситуации, если противник В разбит не на две, а на равных частей, то противника А после полного уничтожения противника В, посте взаимодействия приведенных сил. Другая сторона принципа БПЧ состоит в том, что можно побеждать противника, имея меньшую начальную приведенную численность.

Если противник В разбит на равных частей, то противник А побеждает, имея чуть больше, чем приведенных Приведем теперь решение системы с начальными условиями Продифференцируем уравнение и, используя уравнение получим Общее решение этого уравнения дается формулой

Подставляя это в получаем Используя начальные условия получаем для определения произвольных постоянных А и В соотношения Таким образом, Значение приведенного времени при котором взаимодействие прекращается полного уничтожения противника В, дается формулой Если то и в этом случае процесс взаимодействия продолжается до бесконечности. иметь в виду, однако, что при малых численностях уравнения будут описывать процесс Изучим теперь как ведет себя величина которую принято называть соотношением сил точки зрения первого Соотношение сил часто фигурирует в профессиональном анализе и оценках ситуаций на театре военных действий. Дифференцируя получаем Интегрируя это уравнение при условии где то, как видно из функция монотонно возрастает до бесконечности, когда меняется от до Соотношение сил, таким образом, в течение изучаемого процесса становится все в того противника, который с самого Одно из лежащих в основе Ланчестера рода, в том, что каждый из противников в течение фиксированного промежутка времени для первого противника и для находит непораженную боевую единицу противника, по которой он производит воздействие с неменяющейся со временем вероятностью ее вывода из строя. Артемьев Эдуард Иосифович.

Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, Модель рода численность противника численность противника начальная численность вооруженной борьбы рода про Дифференциальные уравнения вид при Пусть вероятность с которой каждая боевая единица при выстреле поражает боевую единицу скорострельность БЕ в промежуток на ром определяются потери

Одна БЕ делает на промежутке выстрелов. ожидание выведенных из строя БЕ Но это есть БЕ т. е. получаются уравнения и и рода это одна из моделей зависимости численности противника численности противника фазовой траектории иетодои построения системы координат часть диФФУРавнения изменения численности противника часть диффуравнения изменения численности хо уо диффуравнения конечное и приращение времени условия начальных данных изменения вреиени ТО количества противника количества противника хО графика противника хО графика противника и начальных данных численность численность начальная ЗООО построения системы координат экран пикселей в единице хо координат в пикселях на оси хО и обозначение осей ТО хО З ТО хО х, вывода комментариев ИОАель рода и противников уравнения модели имеют ПРИ Пусть вероятность с которой боевая единица при выстреле единиц численность в иоиент врекенной на определяются потери БЕ делает на выстрелов.

Математическое числа выведенных из строя БЕ равными Но это изменение численности БЕ Следовательно, или Аналогично уравнения и и Получим уравнения Эдуард Иосифович. Исследование математических модели имитации конфликтов. Чебоксары, Модель Ланчестера рода с привеценнои численностью приведенная численность противника приведенная численность противника начальная численность Простеиыая вооруженной борьбы Ланчестера рода ком и при

Пусть вероятность с которой каждая боевая единица при вые трепе поражает боевую единицу про а скорое трепьнос ь БЕ в момент Т, на тся потери про Одна БЕ депае на промежутке ожидание числа выведенных строя БЕ принимаем равным это есть изменение БЕ т. е. л уравнения и уравнения Рода это Одна из моделей зависимости численности противника численности противника фазовой траектории иетодои используется понятие приведенной построения сметены Координат часть диффуравнения изменения численности противника часть диффуравнения изменения численности противника конечное и времени условия начальных данных хо уо изменения времени ТО количества противника количества противника хО графика противника хО графика противника комментариев и начальных данных рода с приведенной численно приведенная численность приведенная численность начальная построения системы Координат экран в единице хо координат в пикселях на экране а, хО оси и обозначение осей ТО хо зооо ТО хО вывода комментариев Простейшая коде ль рода и противникам уравнения коАели имеют И ПР Пусть вероятность которой боевая единица при выстреле боевую численность в кокент на определяются потери БЕ Делает на Математическое числа выведенных из строя БЕ равных На это изменение численности БЕ Следовательно, или Аналогично уравнения и Л получим уравнения Чебоксары, Артемьев Эдуард Ио сифович.

Исследование математических моделей имитации конфликт З Принцип противника приведенная приведенная З по в модели численность численность Согласно Ланчестера рода при вступлении в всех БЕ и всех БЕ выигрывает тот противник чья ЧИСЛЕННОСТЬ выше. что и есть характеристики технической вооруженности собственно численности боевых единиц. Выходит, что в начале следует ь противнику с приведенной Здесь приведена драмма поражения с приведенной ностыо с приведенной З. Коварство слабого противника в что он ухитряется бить противника по частям. Каждый раз он выбирает группировку противника с приведенной равной уничтожает ее. Затем на группу.

Под графиком приведены значения перед очередной модель рода. построение зависимости численности и численности противника здесь используется понятие приведенной численности данной программке моделируется принцип противника по когда сторона часть противника с иеньыей приведенной численностью, ее и принимается за части противника с приведенной численностью достаточно малой для метод начальные условия начальных данных хо уа изменения времени ТО приращение количества противника приращение количества противника точка графика противника хО точка графика противника хо ЗООО конечное и приращение времени подпрограмма построения системы координат часть диФФУРавнения изменения численности первого противника правая часть диффуравнения изменения численности второго противника правая вывод противника комментариев З, и начальных данных

Бей противника по в модели приведенная численность приведенная численность начальная о построения координат экран пикселей в единице хО координат в пикселях на экране хО оси и обозначение осей ТО хО ТО хО вывода комментариев Согласно коАели Рода вступлении в конфликт всех БЕ всех БЕ выигрывает тот противник чья начальная Приведенная выше. Напомни, что Приведенная есть характеристики численности боевых что в саиои начале следует противнику с меньшей Арахиса поражения с начальной приведенной более с приведенной численностью Коварство слабого противника в тои, что он ухитряется бить по частям. раз он группировку противника с приведенной равной и переключается на ПоА гракфикок приведены значения перед очередной акцией. Ланчестера рода. Рассмотрим несколько другую ситуацию, которая, очевидно, достаточно часто имеет место. Пусть каждый из противников не видит конкретных боевых единиц другого противника, а знает лишь область, где они расположены. Конфигурация области где расположены боевые единицы противника несущественна.

Обозначим площадь области через Введем в рассмотрение величину Эта величина характеризует по порядку линейный размер области Будем считать, что характерный линейный размер г боевой единицы противника меньше величины Предположим, что при попадании боезапаса противника в область все боевые единицы противника оказавшиеся внутри круга площади б с центром в точке попадания, выходят из строя с вероятностью а боевые единицы, находящиеся за пределами этого круга остаются совершенно непораженными. Очевидно, что эти предположения содержат также предположение том, что характерный линейный размер боевой единицы меньше по порядку величины характерного линейного размера площади поражения. Предположим, далее, что характерное расстояние между боевыми единицами больше линейного размера площади

Это предположение позволяет считать, что каждый выстрел может вывести из строя лишь одну боевую единицу. Предположим, наконец, что противник ведет стрельбу так, что при каждом выстреле попадание в окрестность любой точки области пропорционально площади этой окрестности и что характерная величина рассеивания при стрельбе по порядку величины меньше линейного размера области Пусть в некоторый момент времени численность боевых единиц противников равна и Из сделанных предположений следует, что вероятность р вывода из строя единицы противника при выстреле единицы противника совершенном в момент времени равна Рассуждения, аналогичные тем, которые были выполнены для модели Ланчестера рода, дают основание постулировать в рассматриваемом случае следующую модель получающуюся подстановкой в соотношения модели рода вместо р величины Вводя обозначения СХ. получаем Ланчестера Уравнения принято называть уравнениями рода. из строя

Соотношения вида описывают процесс вывода этом разделе боевых единиц не только при сформулированных в изменится в предположениях. Например, фактически ничего не но считать, рассуждениях, если отказаться от предположения но распределены по что боевые единицы противников равномерно соответствующим В этом случае величина характеризовать ма ожидание хара буде оны при количества выведенных из строя боевых единиц стор в момент одном выстреле единицы противника совершенном единицы хотя и Еще одним примером является ситуация, когда боевые льтатах своих видят противника, но не имеют информации резу выстрелов, и находится в Может сложиться ситуация, когда часть боевых единиц других. В этом одних информационных условиях, другая часть в тся моделью, случае процесс выхода из строя боевых единиц описывает обобщающей модели и и, начнем со Исследуя процесс, описываемый этими соотношениям рода б с модели Ланчестера Естественно сделать следующую замену искомых функция результате которой соотношения примут вид Величины и как и прежде, будем называть приведенными численностями. В данном случае не зависящий от времени интеграл системы получается вычитанием этих уравнений друг из друга, что дает Таким образом, в рассматриваемом взаимодействии сохраняется разность приведенных численностей.

Поэтому тот противник, которого в на чале процесса приведенная численность была больше, будет сохранять это преимущество в течение всего процесса. Найдем явные выражения для функций Для этого выразим из и подставим получившееся выражение в Получим где начальная разность приведенных сил. При интегрировании уравнения следует различать два Л и Л В случае как нетрудно видеть, Общий характер решения похож на решение уравнений Ланчестера рода в случае равенства приведенных сил, однако, к нулю приведенных численностей при увеличении времени происходит менее интенсивно, что объясняется уменьшением вероятности поражения при уменьшении Рассмотрим теперь основной случай, когда Л Не нарушая общности, можно считать, что Л Уравнение перепишем в виде

Интегрируя с учетом начальных условий используя затем получаем Итак, величина в соответствии с монотонно уменьшается от до величина монотонно уменьшается от до нуля. Существенное отличие рассматриваемого процесса от того, который описывается уравнениями Ланчестера рода, состоит в том, что численность более слабого противника обращается в ноль лишь при Однако, так же как и для уравнений Ланчестера рода предположения, сделанные при выводе уравнений справедливы лишь тогда, когда численности и достаточно велики. Для процесса, описываемого уравнениями Ланчестера принцип БПЧ, котором шла речь в предыдущем разделе, не имеет места. В самом деле, если и противник А вступает во взаимодействие сначала с половиной сил противника В, а затем оставшимися силами со второй половиной, то, в соответствии с него после первого взаимодействия останется сил и никакого выигрыша от такой организации процесса он иметь не будет. Некоторое неудовлетворение в этих рассуждениях вызывает то обстоятельство, что первое взаимодействие окончится лишь при Видоизменим рассуждения следующим образом. Будем считать, что в первом взаимодействии противник А вступает в бой с количеством сил противника В, где Остальные сил противника В находятся в резерве.

Пусть первое взаимодействие продолжается некоторое время Обозначим количество сил противников А и В после первого взаимодействия через и Из вытекает, что эти величины связаны с их соотношением Во втором взаимодействии оставшиеся после первого взаимодействия противника В в количестве объединяются с резервом, количество которого равно В результате в начале второго взаимодействия противника В будет в силу сил ровно столько же, сколько и противника А. Тот факт, что некоторое время все силы противника А взаимодействовали с частью сил противника В, никакого влияния на характер процесса не оказал. В точно такой же ситуации, если бы процесс описывался уравнениями Ланчестера рода, выиграл бы, очевидно, противник А.

Интересен вопрос том, имеет ли место принцип БПЧ для модели Интуитивно ясно, что ответ на этот вопрос должен быть положительным, однако исследование этого факта мы не успели провести. Эдуард Иосифович. Исследование математических моделей имитации конфликтов. Чебоксары, Модель рода начальная З Модель вооруженной борьбы Ланчестера рода. вероятность вывода из строя выстреле БЕ ти боевых БЕ круга поражаемая выстреле вероятность что все БЕ в круге выходят из с ти на которой распределены все БЕ можно обозначить но р получаются Ланчестера рода. что часть емая при одной БЕ кта от рода в том, что более про обратные тся В ноль то Модель Рода зависимости численности противника численности противника построения системы координат часть диФФУРавнения изменения численности противника часть диффуравнения изменения численности противника конечное и времени условия начальных Данных выстрелом выстрелом Метод хо уа изменения времени то количества противника количества противника графика противника хО хО

Точка графика противника ВЫВОД комментариев и начальных Рода численность численность начальная коэффициент построения системы координат экран в единице хО координат в на экране о оси хО и обозначение осей ТО РВЕТ хО З ТО ВТЕР хО вывода комментариев Моделька вооруженной ьорььы Дифференциальные вероятность вывода из строя выстреле БЕ боевых единиц БЕ круга поражаемая при вероятность БЕ в из которой все БЕ обозначить Аналогично получили р получаются из что часть при выстреле ОАНОЙ БЕ отличие Динамики от модели Рода заключается в что численность более слабого обращается в ноль Абрамов А. М., Дорофеев Егоров Мордкович вопросы курс под ред. Фирсова Просвещение, с. уравнения в Наука. Главная редакция литературы,

Самойленко А. М., Кривошея с. А., Перстюк Н. А. примеры и Учеб. пособие. М. шк., г. ил. Хайрер Э., Нерсетт, Ваннер Г. обыкновенных дифференциальных Мир, г. с. Введение Уравнение Мальтуса Уравнение Модель Полетаева уравнения в экологии Задача Задача двух хищниках и жертве Модель Ланчестера рода Модель Ланчестера рода Литература на дипломную работу Артемьева математических моделей имитации Математические модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем часто оказываются эффективными при описании явлений, когда поведение объекта определено проверенными практикой законами. Но в связанных с влиянием множества случайных факторов такое может показаться не эффективным.

Однако основные закономерности поведения исследуемой системы проявляются наглядно. В данной работе на простых примерах одной популяции или нескольких взаимодействующих популяций исследуются влияния различных факторов, представляемых параметрами дифференциальных уравнений, на динамику численности популяций. Перед дипломником задача проведения численных экспериментов выявления основных закономерностей развития популяций при различных параметрах и задача наглядной графической интерпретации полученных результатов. Дипломник рассмотрел достаточно большое число моделей, провел численные решения и привел аналитические решения. Приведены выводы возможных вариантах развития популяций. Работа имеет важное значение как демонстрационный материал при чтении курса моделирование в Научные Зав. кафедрой математического моделирования ЧГУ, д. н., проф. Артемьев И. т. С Ст. преподаватель кафедры математического моделирования ЧГУ, Филиппов на дипломную работу на о Исследование математических моделей имитации конфликтов. выполненная дипломником математического Эдуардом Иосифовичем Артемьевым Дипломная работа содержит стр. пояснительного текста и листов графической части. В дипломной работе разработаны следующие Разработаны методы моделирования в экологии, биологии, а так же рассмотрены вопросы прогнозирования военных конфликтов, осно ванные на системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

При этом особое внимание уделено качественному анализу развития конф выживание, вымирание, равновесие и колебание численности. При этом основной упор в дипломной работе делается на численное реше ние и графическую решаемых задач, а так же прив одятся аналитические решения некоторых задач. Достоинства рецензируемой дипломной Все решения рассмотренных задач проиллюстрированы графически что позволяет делать качественный, количественный анализ и прогноз характеристик решаемых задач. Все приведенные задачи могу иметь практическое приложение во многих областях человеческой деятельности. Недостатки рецензируемой дипломной В работе делено мало внимания вопросам решений дифференциальных уравнений. Оценка РЕЦЕНЗЕНТ к. н.